Đề thi quốc gia đó!

Tiêu đề: Đề thi quốc gia đó! Wed Jan 18, 2012 8:02 pm

Đề thi thử học sinh giỏi Quốc gia năm 2012 (chuyên Thái Bình)

Ngày 1

Bài 1 (7điểm)
1, Giải phương trình: [img]http://tools.jcisio.com/tex/mathtex/mathtex.png.cgi?7x%5E2-13x+8=2x%5E2%5Csqrt[3]%7Bx%281+3x-3x%5E2%29%7D[/img]
2, Cho $Đề thi quốc gia đó! ?x,y,z%5Cge%200,%20x+y+z=1$ . Chứng minh: $Đề thi quốc gia đó! ?%5Cfrac%7Bz-xy%7D%7Bx%5E2+xy+y%5E2%7D+%5Cfrac%7By-zx%7D%7Bx%5E2+xz+z%5E2%7D+%5Cfrac%7Bx-yz%7D%7By%5E2+yz+z%5E2%7D%5Cge%202$

Bài 2 (5điểm)
Cho dãy $Đề thi quốc gia đó! ?%28a_n%29_%7Bn%5Cge%201%7D$ thỏa mãn: $Đề thi quốc gia đó! ?%20a_1=a_2=1,%20a_%7Bn+1%7D=7a_n-a_%7Bn-1%7D$
Chứng minh với mọi $Đề thi quốc gia đó! ?n$ nguyên dương thì $Đề thi quốc gia đó! ?a_n+a_%7Bn+1%7D+2$ là số chính phương.

Bài 3 (5điểm)
Cho đường tròn $Đề thi quốc gia đó! ?%28O%29$ cố định và dây $Đề thi quốc gia đó! ?AB$ cố định khác đường kính. Gọi $Đề thi quốc gia đó! ?I$ là trung điểm của $Đề thi quốc gia đó! ?AB$ . P là điểm di động trên cung lớn $Đề thi quốc gia đó! ?AB$ của $Đề thi quốc gia đó! ?%28O%29$ . Các điểm $Đề thi quốc gia đó! ?M,N$ trên tia $Đề thi quốc gia đó! ?PA,PB$ thỏa mãn $Đề thi quốc gia đó! ?%5Cangle%20PMI=%5Cangle%20PNI=%5Cangle%20APB$ .
a, Chứng minh đường cao từ $Đề thi quốc gia đó! ?P$ của tam giác $Đề thi quốc gia đó! ?PMN$ đi qua một điểm cố định.
b, Chứng minh đường thẳng Euler của tam giác $Đề thi quốc gia đó! ?PMN$ đi qua một điểm cố định.

Bài 4 (3điểm)
Cho tập hợp $Đề thi quốc gia đó! ?S$ gồm $Đề thi quốc gia đó! ?n$ số nguyên dương đầu tiên. Giả sử $Đề thi quốc gia đó! ?A_1,A_2,..$ là $Đề thi quốc gia đó! ?k$ tập con của $Đề thi quốc gia đó! ?S$ thỏa mãn đông thời 2 điều kiện:
i, mỗi tập gồm ít nhất $Đề thi quốc gia đó! ?%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D$ phần tử.
ii, giao của 2 tập bất kì có không quá $Đề thi quốc gia đó! ?%5Cfrac%7Bn%7D%7B4%7D$ phần tử.
Chứng minh hợp của k tập trên gồm ít nhất $Đề thi quốc gia đó! ?%5Cfrac%7Bk%7D%7Bk+1%7Dn$ phần tử.